제로베이스 데이터사이언스 스쿨 - Part 03. 기초 수학-06

Chapter 01. 기초 수학

 

수열과 등차수열 (Sequence & Arithmetic Sequence)

1. 수열이란?

• 정의:
  일정한 규칙성을 가지고 나열된 수의 집합2, 4, 6, 8, 10, 12, ...2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ ...2, 4, 6, 8, 10, 12, ...⇒ 각 수를 항(term) 이라 하고, 전체를 수열(sequence) 이라 한다.
• 표기:
  수열을 {an}이라 할 때,
  a₁, a₂, a₃, …, aₙ 으로 나타내며
  일반항은 n에 대한 식 an = f(n) 으로 표현된다.
• 예시:
  • 짝수 수열: an = 2n
  • 홀수 수열: an = 2n - 1
  • 홀수 수열(다른 시작점): an = 2n + 1

💡 수열의 핵심은 “규칙을 식으로 표현하는 능력”이다.

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2. 항들의 합과 항의 관계

• 수열의 합(Sₙ):Sn=a1+a2+a3+...+anSₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙSn​=a1​+a2​+a3​+...+an​
• 항과 합의 관계:an=Sn−S(n−1)(n≥2)aₙ = Sₙ - S₍ₙ₋₁₎ \quad (n ≥ 2)an​=Sn​−S(n−1)​(n≥2)첫째항은 a₁ = S₁

💡 이전까지의 합과 현재 항의 합을 비교해 “누적적 관계”를 이해하는 것이 핵심이다.

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3. 실습 예시

다음 수열의 일반항을 구해보자.

수열	규칙	일반항
2, 5, 8, 11, 14, ...	공차 3	an = 2 + (n - 1) × 3
5, 9, 13, 17, 21, ...	공차 4	an = 5 + (n - 1) × 4
10, 13, 16, 19, ...	공차 3	an = 10 + (n - 1) × 3

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4. 등차수열이란?

• 정의:
  연속된 두 항의 차이가 일정한 수열
• 예 : 2, 4, 6, 8, 10, 122,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 122, 4, 6, 8, 10, 12공차 d = 2
• 일반항 공식 : an=a1+(n−1)daₙ = a₁ + (n - 1)dan​=a1​+(n−1)d

💡 “차이가 일정하다”는 규칙에서 출발해 식으로 표현하면, 모든 등차수열의 구조를 설명할 수 있다.

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5. 등차중항 (Arithmetic Mean)

• 정의:
  연속된 세 항에서 가운데 항an−1, an, an+1a_{n-1},\ a_n,\ a_{n+1}an−1​, an​, an+1​이라면an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}an​=2an−1​+an+1​​
• 예시:

  수열	계산	결과
  2, 5, 8, ?, 14, 17	(5 + 17)/2	11
  5, 9, 13, ?, 21, 25	(9 + 25)/2	17

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6. 등차수열의 합

공식 유도 : Sn=a1+a2+...+anSₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙSn​=a1​+a2​+...+an

​순서를 반대로 적어 더하면, 2Sn=n(2a1+(n−1)d)2Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)2Sn​=n(2a1​+(n−1)d)\

따라서,Sn=n2(2a1+(n−1)d)Sₙ = \frac{n}{2} (2a₁ + (n - 1)d)Sn​=2n​(2a1​+(n−1)d)

또는Sn=n(a1+an)2Sₙ = \frac{n(a₁ + aₙ)}{2}Sn​=2n(a1​+an​)​

• 예시:
  

  수열	계산	결과
  2, 5, 8, 11, 14, 17	6(2 + 17)/2	57
  5, 9, 13, 17, 21, 25	6(5 + 25)/2	90

 

* 이 글은 제로베이스 데이터사이언스 파트타임 스쿨의 강의 자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다.

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💡 생각 정리

이번 강의는 “규칙에서 식을 만들어내는 사고력”을 길러주는 과정이었다.
수열의 각 항이 일정한 규칙을 따른다는 점에서, 수학적인 패턴 인식 → 수식화 → 일반화의 과정을 자연스럽게 경험할 수 있었다.

특히 등차수열의 합 공식을 유도하는 과정에서, 순서를 바꿔 더하면 항들이 대칭을 이루는 구조적 아름다움을 느낄 수 있었다.
이는 단순한 계산을 넘어, 수학의 논리와 구조를 시각적으로 이해하는 훈련이었다.

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🚀 적용점

• 수학적 사고력 강화:
  • 규칙을 식으로 표현하는 연습은 알고리즘 설계와도 직결된다.
  • 예: 반복되는 패턴을 찾고 일반화하는 로직 설계
• 프로그래밍 응용:
  • 등차수열 공식을 코드로 구현하여 자동화 가능
  • 예시:

def arithmetic_sum(a1, d, n):
    return n * (2*a1 + (n-1)*d) / 2

• 실생활 활용:
  • 할부금 계산, 누적 적금, 거리·시간의 일정 증가 등
  • 반복적 증가 패턴을 수식으로 모델링할 수 있다.

👉 이번 강의는 “규칙을 수식으로 표현하는 힘”을 키워주는 수학적 기초이자, 논리적 사고와 프로그래밍적 사고를 연결하는 핵심 단계였다.