제로베이스 데이터사이언스 스쿨 - Part 04. 기초 통계-5

Chapter 01. 기초통계_기초과정

 

연속형 확률분포 (Continuous Probability Distributions)

 

주요 개념

연속형 확률변수란 셀 수 없는 실수 범위의 값을 가질 수 있는 변수를 말한다.
예를 들어 사람의 키, 체중, 시간, 거리, 온도 등은 연속형 데이터다.
이때 확률은 단일 값이 아닌 구간으로 계산되며,
이를 위해 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)를 사용한다.

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1. 확률밀도함수 (PDF, Probability Density Function)

연속형 확률변수 X의 확률분포는 확률밀도함수 f(x)로 정의된다.
f(x)는 아래 조건을 만족해야 한다.

 

1. 모든 X에 대해 f(x) ≥ 0
2. 전체 구간의 확률합은 1

3. 구간 [a, b]의 확률은

 

즉, 곡선 아래 면적이 확률을 의미한다.

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확률밀도함수의 성질

• 단일 값의 확률은 0
    P(X = a) = 0
• 구간 확률은 구간의 면적과 동일
    P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b)

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기대값(평균)과 분산

 

즉, 이산형의 “Σ(합)”이 연속형에서는 “∫(적분)”으로 바뀐 형태이다.

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🔹 2. 누적분포함수 (CDF, Cumulative Density Function)

확률밀도함수를 적분하면 누적분포함수 F(x)를 얻는다.

• 미분 관계:

누적분포함수의 성질

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. b ≥ a → F(b) ≥ F(a)
3. F(b) - F(a) = P(a ≤ X ≤ b)

 

즉, CDF는 확률이 누적되는 곡선, PDF는 확률이 분포된 곡선이라고 볼 수 있다.

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3. 균일분포 (Uniform Distribution)

균일분포는 일정 구간 [a, b] 내에서 확률이 모두 동일한 분포이다.
즉, X가 어디에 있든 확률이 똑같다.

 

확률밀도함수 (PDF)

​

누적분포함수 (CDF)

​

그래프는 [a, b] 구간에서 일정한 높이의 직사각형 형태를 띤다.

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균일분포의 평균과 분산

​

📌 균일분포의 핵심: 모든 구간이 동일 확률 → “무작위 추출(Random)”의 기초 개념.

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4. 정규분포 (Normal Distribution)

정규분포는 통계에서 가장 중요한 연속형 확률분포다.
데이터의 자연스러운 변동을 설명할 때 거의 항상 등장한다.

X ~ N(μ, σ²)

• 평균 μ: 분포의 중심
• 분산 σ²: 분포의 퍼짐 정도

확률밀도함수

곡선은 평균 μ를 중심으로 좌우 대칭이며, σ가 커질수록 완만하고, 작을수록 뾰족하다.

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정규분포의 특징

• 평균 = 중앙값 = 최빈값
• 분포 전체 면적 = 1
• 68–95–99.7 법칙 (표준편차 기준)
    σ 범위 1 → 약 68%
    σ 범위 2 → 약 95%
    σ 범위 3 → 약 99.7%

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5. 표준정규분포 (Standard Normal Distribution)

정규분포를 평균 0, 표준편차 1로 변환한 분포.
변환 식은 다음과 같다.

​

따라서

X ~ N(μ, σ²) → Z ~ N(0, 1)

 

Z값은 “평균에서 몇 표준편차 떨어져 있는가”를 의미하며,
확률은 표준정규분포표(Z-table)로 확인한다.

 

예시)

• P(Z ≤ 1.96) = 0.975
• P(Z ≤ -1.96) = 0.025
• P(–1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95

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6. 정규분포의 변환과 성질

상황	변환 결과
X ~ N(μ, σ²), aX + b	N(aμ + b, a²σ²)
표준화 Z = (X - μ)/σ	N(0, 1)
X, Y 독립일 때 aX + bY	N(aμ₁ + bμ₂, a²σ₁² + b²σ₂²)

예시)
X ~ N(100, 10²) 일 때
P(100 ≤ X ≤ 110) = P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413

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7. 이항분포의 정규 근사

n이 충분히 크고 p가 0에 가깝지 않을 때,
이항분포 B(n, p)는 정규분포 N(np, np(1-p))로 근사 가능하다.

이 근사는 실제로 샘플이 많을수록 평균이 정규분포에 가까워지는 현상
즉, **중심극한정리(Central Limit Theorem)**의 기반이 된다.

 

* 이 글은 제로베이스 데이터사이언스 파트타임 스쿨의 강의 자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다.

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💡 생각 정리

연속형 확률분포는 현실의 수많은 변동을 수학적으로 모델링하는 방법이다.

• PDF는 ‘확률의 밀도’,
• CDF는 ‘누적 확률’,
• 정규분포는 ‘자연스러운 데이터의 패턴’.

이 개념을 이해하면 데이터를 “확률 공간에서 해석”할 수 있다.

즉, 정규분포는 통계학의 언어이자,
모든 데이터 분석의 기본 배경이다.

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🚀 적용점

 

• EDA 확장 분석 : 연속형 변수의 분포 시각화 (히스토그램, KDE plot)
• 확률계산 : 특정 구간 확률 계산 시 scipy.stats.norm.cdf() 사용
• 표준화(Z-score) : 이상치 탐지, 데이터 스케일링
• 데이터 샘플링 : np.random.normal(μ, σ, n) 으로 정규분포형 데이터 생성

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

# 정규분포 PDF
x = np.linspace(-4, 4, 100)
y = norm.pdf(x, 0, 1)

plt.plot(x, y)
plt.title('Standard Normal Distribution')
plt.show()