제로베이스 데이터사이언스 스쿨 - Part 04. 기초 통계-6

 Chapter 01. 기초통계_기초과정

 

연속형 확률분포 완전 정리 (pdf · cdf · 균일 · 정규 · 지수)

 

1. 주요 개념 요약

확률밀도함수(pdf)

• 연속형 확률변수 X의 “확률 분포 형태”를 나타내는 함수
• 모든 x에 대해 f(x) ≥ 0
• 전체 면적 = 1

• 구간 확률은 면적

• P(X = a) = 0 → 경계 포함 여부는 중요하지 않다.

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누적분포함수(cdf)

• “특정 값 이하일 확률”

• pdf의 적분

• 구간 확률

 

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균일분포(Uniform)

X ~ U(a, b)

 

pdf

 

평균, 분산

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정규분포(Normal)

X ~ N(μ, σ²)

 

pdf

특징

• 종 모양, 대칭
• 자연계 대부분의 값이 근사적으로 따름
• 평균 μ, 분산 σ²로 완전히 결정

표준정규변환

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이항분포의 정규 근사

n이 충분히 크면

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지수분포(Exponential)

X ~ Exp(λ)
어떤 사건이 “처음 발생할 때까지 걸리는 시간”

 

pdf

 

평균

 

​무기억성

 

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포아송–지수 관계

• 단위 시간 동안 발생하는 횟수 → 포아송(λt)
• 각 사건 사이의 대기시간 → 지수(λ)

두 분포는 같은 과정에서 서로 연결된다.

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2. 예시 & 수식 정리

● 표준정규 분포 예시

1. P[Z≤1.96]=0.975
2. P[Z≤−1.96]=0.025
3. P[0.5≤Z≤1.96]=0.975−0.6915=0.2835

● 정규분포 예시

 

● 지수분포 예시

버스가 시간당 6대 도착 → λ = 1/10

• 10분 이상 대기할 확률

• 10~20분 대기할 확률

 

* 이 글은 제로베이스 데이터사이언스 파트타임 스쿨의 강의 자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다.

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💡 생각 정리

이번 파트를 공부하면서 느낀 건, ‘연속형 확률분포’라는 큰 틀이 사실 서로 연결된 개념들의 자연스러운 흐름이라는 점이다.

• pdf는 형태
• cdf는 누적
• 정규는 자연 현상을 가장 잘 설명
• 지수는 사건과 사건 사이의 시간
• 포아송은 시간 동안의 횟수

이렇게 연속형·이산형 분포가 하나의 과정으로 묶여 있다는 게 인상적이었다.
특히 정규 근사와 포아송–지수 연결성은 앞으로의 모델링에도 계속 등장할 개념이라 확실히 잡아두는 게 중요하다고 느낌.

또 하나, 확률분포를 ‘암기’하려고 보면 어렵지만 “현실에서 어떤 상황을 설명하는지” 이미지화하면 훨씬 명확해진다.
정규는 키/점수, 균일은 랜덤 위치, 지수는 대기시간… 이렇게 현실 사례를 매칭하니 개념이 더 자연스럽게 머리에 들어왔다.

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🚀 적용점

 

• ✔ 데이터의 분포 파악
  EDA 과정에서 히스토그램을 보고 정규성 여부를 판단할 때 바로 이 개념들이 쓰인다.
• ✔ 가설검정 / 신뢰구간 계산
  표준정규 및 정규 근사는 모든 기초 통계 기법의 기반이 된다.
• ✔ 머신러닝 모델링(특히 확률모형)
  Gaussian Mixture Model, Naive Bayes 등은 정규분포를 기본 가정으로 삼는다.
• ✔ 대기시간/고장시간 모델링
  서버 요청 도착, API 호출 간격, 콜센터 업무량 분석 등에서 지수분포가 필수.
• ✔ 시뮬레이션/랜덤 데이터 생성
  균일분포는 random seed, 샘플링, 몬테카를로 시뮬레이션의 기본 분포.
• ✔ 포아송–지수 관계 활용
  “시간 동안 몇 번 발생?” vs “다음 발생까지 얼마나 남았나?”
  두 개념을 상황에 맞게 선택할 수 있게 됐다.