제로베이스 데이터사이언스 스쿨 - Part 04. 기초 통계-8

Chapter 01. 기초통계_기초과정

 

표본분포 정리: 카이제곱·t·F 분포까지 한 번에 이해하기

 

주요 개념

• 카이제곱 분포(χ²)
  • 정규분포를 따르는 확률변수들 제곱합 → 카이제곱 분포
  • 분산 추정, 적합도 검정 등에 활용
• t 분포
  • 모표준편차를 모를 때 표본표준편차로 대체해 추론할 때 사용
  • 자유도가 커질수록 정규분포에 수렴
• F 분포
  • 두 개의 독립 표본 분산의 비율
  • 분산분석(ANOVA)에 필수

---

1. 카이제곱 분포(Chi-square distribution)

정의

표준정규분포를 따르는 변수 Z1,Z2,...,Zn 이 있을 때,

여기서 vvv는 자유도(degree of freedom).

---

pdf

---

평균과 분산

---

감마분포와의 관계

카이제곱 분포는 감마분포의 특수한 경우이며

 

로 나타낼 수 있음.

---

활용

• 분산에 대한 추론
• 적합도 검정 (Goodness-of-fit Test)
• 범주형 데이터 분석

---

예시 문제

목표:

즉,

 

이를 이용해 카이제곱 분포표에서 임계값을 찾음.

---

자유도와 모양

• 자유도가 작으면 오른쪽 꼬리가 긴 비대칭 분포
• 자유도가 커지면 정규분포에 근사

---

2. t 분포(t-distribution)

배경

모표준편차 σ를 모르는 경우, 표본표준편차 s로 추정하여
확률변수 Z 대신 t 통계량을 정의.

---

정의

​

여기서

• Y∼χ2(v)
• v=n−1 (자유도)

---

특징

• 표본 크기가 작을 때 강력함
• 꼬리가 두꺼운 형태 → 극단값에 민감
• n 증가 → 정규분포에 수렴

---

예시

표본 25개, 모집단 N(100,10²)

문제

→ t 분포표에서

 

값을 찾아 c=−1.711

---

3. F 분포(F-distribution)

정의

두 카이제곱 변수의 “평균화된 비율”

​​

여기서

---

표본 분산의 비율

표본1, 표본2를 각각 추출하면

---

활용

• 두 집단의 분산 비교
• ANOVA (분산분석)
• 회귀 모델 유의성 검정 (F-test)

---

예시

모집단

표본 크기

 

문제:

 

F 분포표에서

 

 

* 이 글은 제로베이스 데이터사이언스 파트타임 스쿨의 강의 자료 일부를 발췌하여 작성되었습니다.

---

 

💡 생각 정리

표본분포는 단순히 ‘표본을 뽑았을 때 변하는 값의 분포’가 아니라, 모집단을 직접 확인하지 않고도 통계적 추론을 가능하게 해주는 핵심 도구라는 점이 다시 한 번 명확해졌다.

세 분포는 서로 독립적이 아니라 서로 긴밀하게 연결되어 있으며, 정규분포 → 카이제곱 → t → F 분포로 확장되는 구조를 이해하면 어떤 검정에서 어떤 분포를 쓰는지 자연스럽게 연결된다.

특히 자유도 개념은 처음엔 추상적이지만, 표본평균을 계산하면서 실제로 ‘제약 조건’이 생기는 과정에서 왜 감소하는지 알게 되니 훨씬 직관적으로 받아들여졌다.

---

🚀 적용점

 

• 데이터 분석에서
  • 분산 비교 → F 분포
  • 평균 차이 검정 (표본 작거나 σ 모름) → t 분포
  • 범주형 적합도 검정 → 카이제곱
• 머신러닝에서
  • ANOVA 기반 특징 선택 시 F 통계량 활용
  • 모수 추정 정확도 판단 시 t 통계량 활용
  • 분산 안정성 가정 검토 시 F-test 활용
• 프로젝트 실무에서
  • A/B 테스트의 분산 동질성 여부 판단
  • 품질 관리에서 변동성 분석
  • 신용평가·제조 데이터처럼 분산 차이가 중요한 산업에 직접 적용 가능